【题目】我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

●特例感知

①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度．

●深入探究

如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；

●推广应用

如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．

参考答案：

【答案】●特例感知:①是；②；

●深入探究： ，理由见解析；

●推广应用：2a．

【解析】试题分析：●特例感知

①根据勾股高三角形的定义进行判断即可.

②设根据勾股定理可得： ，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可.

●深入探究

根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系.

●推广应用

运用探究的结果进行运算即可.

试题解析：

●特例感知

① 是 ；

②设

根据勾股定理可得： ，

于是，

∴；

●深入探究

由可得： ，而，

∴，即；

●推广应用

过点A向ED引垂线，垂足为G，

∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且，

∴只能是，由上问可知……①．

又ED∥BC，∴……②．

而……③，

∴△AGD≌△CDB（AAS），于是．

易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，

根据三线合一原理可知．

又∴，

∴．

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