Question

【题目】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得

解得k=﹣1，b=120．

所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．

（2）解：W=（x﹣60）（﹣x+120）

=﹣x2+180x﹣7200

=﹣（x﹣90）2+900，

∵抛物线的开口向下，

∴当x＜90时，W随x的增大而增大，

而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，

即60≤x≤60×（1+45%），

∴60≤x≤87，

∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．

∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．

（3）解：由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，

整理得，x2﹣180x+7700≤0，

而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110．

即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，

而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．

【解析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．