Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，链接AC，AD，延长AD交BM地点E．

（1）求证：△ACD是等边三角形．

（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证得；

（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+r，BE=AE=，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，

∴AB⊥BE，

∵CD∥BE，

∴AB⊥CD，

∴=，

∴AD=AC，

∵DA=DC，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等边三角形；

（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠DAB=30°，

∴BE=AE，ON=AO，

设⊙O的半径为：r，

∴ON=r，AN=DN=r，

∴EN=2+r，BE=AE=，

在Rt△NEO与Rt△BEO中，

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，

即（）2+（2+）2=r2+（）2，

∴r=2，

∴OE2=（）2+25=28，

∴OE=2．