Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c (a≠O)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(-4，O)，抛物线的对称轴是直线x=-3，且经过A、C两点的直线为y=kx+4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)将直线AC向下平移m个单位长度后，得到的直线l与抛物线只有一个交点D，求m的值；

(3)抛物线上是否存在点Q，使点Q到直线AC的距离为？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

， .

【解析】试题分析：（1）由经过A、C两点直线为y=kx+4，且点C在y轴上，确定出点C坐标，根据抛物线的对称性确定出B点坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）根据点A的坐标确定出直线AC的解析式，根据平移设平移后的解析式为y=x+4-m ，与联立组成方程组，根据只有一个交点，利用根据的判别式即可求得m的值；

（3）由AC：y=x+4可知到直线AC距离为的点在直线y=x+3或直线y=x+5上，分情况进行讨论即可得.

试题解析：（1）∵经过、两点直线为，且点在轴上，

∴C（0，4），

∵抛物线的对称轴是直线，A（-4，0），

∴B（-2，0），

∴设抛物线的解析式为： ，

∵抛物线经过点（0，4），

∴，

解得： ，

∴抛物线的函数表达式为；

（2）将代入 ，

得 ，

解得，

∴直线的函数表达式为，

∵直线是由直线向下平移个单位得到的，

∴设直线的解析式为 ，

∵直线与抛物线相交，

∴ ，

∵只有一个交点，

∴，

即： ，

∴m=2；

（3）由AC：y=x+4可知到直线AC距离为的点在直线y=x+3或直线y=x+5上，

解方程组 或 ，

得 或，

所以Q点坐标为： 或 或 或 .