Question

【题目】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

∵D为BC的中点，

∴ED=DC=BD，

∴∠1=∠2，

∵OE=OC，

∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，

即∠OED=∠ACB，

∵∠ACB=90°，

∴∠OED=90°，

∴DE是⊙O的切线

（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，

∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，

∴△BEC∽△BCA，

∴ = ，

∴BC2=BEBA，

∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，

∵BC=6，

∴62=2x3x，

解得：x= ，

即AE=

【解析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．