Question

【题目】已知：如图，平行四边形 ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：△AOD ≌ △EOC；

（2）连接AC，DE，当∠B∠AEB _______ °时，四边形ACED是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形

【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．∵O是CD的中点，∴OC=OD．在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．

∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．

又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．

∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠COE=∠BAE=90°，∴ACED是菱形．∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD，∴菱形ACED是正方形．

故答案为：45．