Question

【题目】如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B，点C不重合）．连接CB，CP．

（1）当m= 时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连接CA，当CA⊥CP时，求m的值；
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E恰好落在坐标轴上？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当m= 时，y=﹣x2+5x；

令y=0，得﹣x2+5x=0．

∴x1=0，x2=5，

∴A（5，0）．

当x=1时，y=4，

∴B（1，4）．

∵抛物线y=﹣x2+5x的对称轴为直线x= ，

又∵点B，C关于对称轴对称，

∴BC=3

（2）

解：过点C作CH⊥x轴于点H（如图）．

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

tan∠ACH=tan∠PCB．

∴ ．

∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，

又∵B，C关于对称轴对称，

∴BC=2（m﹣1）．

∵B（1，2m﹣1），P（1，m），

∴BP=m﹣1．

又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），

∴H（2m﹣1，0）．

∴AH=1，CH=2m﹣1．

∴ ，

∴m= ；

（3）

解：存在．

∵B，C不重合，

∴m≠1，分两种情况：

①当m＞1时，m=2，相对应的E点坐标是（2，0）或（0，4）；

②当0＜m＜1时，m= ．，相对应的E点坐标是（ ，0）；

∴E点坐标是（2，0）或（0，4）或（ ，0）

【解析】（1）把m= ，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△ACH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的应用(测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解)．