Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ， 再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2 ， 如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn ．
（1）求证：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）四边形A3B3C3D3是形；
（3）四边形A1B1C1D1的周长为；
（4）四边形AnBnCnDn的面积为 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；

∵AC丄BD，

∴四边形A1B1C1D1是矩形

（2）矩
（3）a+b
（4）
【解析】（2）解：∵四边形A1B1C1D1是矩形， ∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
∴四边形A3B3C3D3是矩形，
所以答案是：矩； （3）解：根据三角形中位线定理可得D1C1=A1B1= AC= a，A1D1=B1C1= BC= b．故四边形A1B1C1D1是的周长为a+b，
所以答案是：a+b．（4）解：∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是 ．
所以答案是： ．