Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．

（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为________．

（2）已知AC=1，BC=3．

①依题意将图2补全；

②求CD的长；

（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．

Answer 1

【答案】（1）105°；（2）①答案见解析；②CD=2；（3）AC+BC=CD．

【解析】试题分析：（1）先判断出∠CAD=∠DBE，再利用等腰直角三角形求出∠ABD=45°，进而求出∠CBD，最后用邻补角即可得出结论；
（2）①根据题意及基本作图即可补全图形；
②构造出△ACD≌△BED，进而判断出△CDE是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得出解；

构造出△BDH≌△ADG，进而判断出△CDH是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．

试题解析：

（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠ABD+∠ABC=75°，
∴∠CAD=∠DBE=180°-75°=105°
故答案为：105°．
（2）①补全图形，如图所示．

②如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．

∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CE=4．
∴CD=2 ．

如图2，

∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DAG+∠CAD═180°，
∴∠CBD=∠DAG．
∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°，
∴△BDH≌△ADG．
∴DH=DG，BH=AG．
∴∠DCH=∠DCG=45°．
∴△CHD为等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CH=2．
∴CD=2 ．

（3）AC+BC=CD，
理由：如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∴CE= CD，
∵CE=BC+BE=BC+AC．
即：AC+BC＝CD．