Question

【题目】我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．

（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：

A（1，0）的距离跨度______________；

B（-， ）的距离跨度____________；

C（-3，-2）的距离跨度____________；

②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______________．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，求出圆心E的横坐标xE的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①2；2，4；②以O为圆心，半径为1的圆；（2）-≤k≤；（3）-1≤xE≤2 ．

【解析】试题分析：（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；
②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．
（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．

试题解析：

（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，
∴直径为4，
∵A（1，0），OA=1，
∴点A到⊙O的最小距离d=1，
点A到⊙O的最大距离D=3，
∴点A到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵B

∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG-OB=1，
点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴点B到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵C（-3，-2），
∴OC＝

∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC-OD=－2.

点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+

∴点C到图形G1的距离跨度R=D-d=2+－（－2））=4；
故答案为2，2，4．
②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP=

∴点P到⊙O的最小距离d=2-OP，点P到⊙O的最大距离D=2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴＝1

∴x2+y2=1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ=

∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ-2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况不存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；

（2）设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），
∴OP＝

由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，
∴点P在图形G2⊙C内部，
∴R=2OP=2

∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，
∴2＝2

∴（k2+1）m2+2（k2-1）m+k2=0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△=4（k2-1）2-4×（k2+1）k2=-12k2+4≥0，

（3）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．

由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射线OP的解析式为y=，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
当E′（-1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，
观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：-1≤xE≤2．
故答案为：-1≤xE≤2．