Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．

（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠FBH=∠EDG，

∵AE=CF，

∴BF=DE，

∵EG∥FH，

∴∠OHF=∠OGE，

∴∠BHF=∠DGE，

在△BFH和△DEG中，

，

∴BFH≌△DEG（AAS）

（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：

连接DF，如图所示：

由（1）得：BFH≌△DEG，

∴FH=EG，

又∵EG∥FH，

∴四边形EGFH是平行四边形，

∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，

∴△EDO≌△FBO，

∴OB=OD，

∵BF=DF，OB=OD，

∴EF⊥BD，

∴EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形．

【解析】（1）首先依据平行四边形的性质可得到AD∥BC，AD=BC，OB=OD，接下来，依据平行线的性质证明∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，依据等角的补角相等可得到∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，最后由AAS进行证明即可；
（2）首先证明四边形EGFH是平行四边形，接下来，在依据等腰三角形的性质得出EF⊥GH，最后，依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形进行证明即可.
【考点精析】本题主要考查了菱形的判定方法和矩形的性质的相关知识点，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．