Question

【题目】设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点． 在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣ ，﹣1），C（ ，﹣1）．

（1）已知点D（2，2），E（ ，1），F（﹣ ，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是；
（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°． ①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）
（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为 ．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）E、F
（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（ ，0）．

可求得直线AM的解析式为 ．

经验证E在直线AM上．

因为OE=OA=2，∠MAO=60°，

所以△OAE为等边三角形，

所以AE边上的高长为 ．

当点P在AE上时， ≤OP≤2．

所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．

所以0≤m≤ ；

②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．

当OH=2时，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，

∴cos30°= ，

∴OG= ，

∴满足条件的b的值为﹣ ≤b≤2；

（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．

由题意当OQ= 时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，

= ，

解得m= ，

∴t=

【解析】解：（1）由题意R=2，r=1，点O是△ABC的中心， ∵OD=2 ，OE=2，OF= ，
∴点E、F是△ABC的中心关联点
故答案为E，F；
（1）根据中心关联点，求出R、r、d即可判断；（2）①由题意可知，点E在直线AM上，当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点；②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．当OH=2时，求出OG即可判断；（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．由题意当OQ= 时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，理由两点间距离公式即可求解．