Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）由平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；

（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC，②BD=CD，③BC=CD，分别求四边形的面积．

试题解析：（1）∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，∵∠CBE=∠DFE，∠BEC=∠FED，CE=DE，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===，所以，四边形BDFC的面积==；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积==；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是或．