Question

【题目】已知：直线AD ， BC被直线CD所截，AC为∠BAD的角平分线，∠1+∠BCD=180°

求证：∠BCA=∠BAC ．

Answer 1

【答案】证明：方法1 ∵ AD是一条直线，
∴∠1+∠5=180° （平角的定义）或（邻补角的定义）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠5=∠BCD（同角的补角相等）
∴ AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

∴ ∠4=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵ AC为∠BAD的角平分线（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分线的定义）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
即：∠BCA=∠BAC ．
方法2 ∵ AD与CD交于点D ，
∴ ∠1=∠ADC （对顶角相等）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠ADC+∠BCD=180°（等量代换）
∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ∠4=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵AC为∠BAD的角平分线（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分线的定义）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
即：∠BCA=∠BAC ．
【解析】方法1由∠5=∠BCD可证AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得 ∠4=∠3再利用角平分线的定义得∠2=∠4，由等量代换即可求出结果；
方法2由∠ADC+∠BCD=180°可证AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得 ∠4=∠3再利用角平分线的定义得∠2=∠4，由等量代换即可求出结果.
【考点精析】通过灵活运用角的平分线和平行线的判定与性质，掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质即可以解答此题．