Question

【题目】在数学研究课上，老师出示如图1所示的长方形纸条，，，然后在纸条上任意画一条截线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到，如图2所示：

（1）若，求的大小；

（2）改变折痕位置，判断的形状，并说明理由；

（3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，求的大小；

（4）小明继续动手操作，发现了面积的最大值，请你求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠MKN=40°；（2）等腰三角形；（3）45°或135°；（4）△MNK的面积最大值为1.3.

【解析】

（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；

（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；

（3）利用当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°；

（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．

（1）如图1，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1，

∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，

∴∠MKN=40°；

（2）等腰三角形，理由如下：

∵AM∥BN，∴∠1=∠MND，

∵将纸片沿MN折叠，∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，

∴KM=KN，

故的形状是等腰三角形；

（3）如图2，当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B′M，

∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，

∴∠1=∠NMB=45°，

同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°，

所以∠1的度数为45°或135°；

（4）分两种情况：

情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合，

MK=MB=x，则AM=5﹣x，

由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，

解得x=2.6，

∴MD=ND=2.6，

S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3；

情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC，

MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x，

同理可得MK=NK=2.6，

∵MD=1，

∴S△MNK=×1×2.6=1.3，

所以△MNK的面积最大值为1.3.