Question

【题目】如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆C与x轴相切；

（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．

【解析】

试题分析：（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；

（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；

（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．

试题解析：

（1）∵已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），∴可设抛物线解析式为 ，∵抛物线经过点（4，2），∴，解得a=，∴抛物线解析式为，即；

（2）联立直线和抛物线解析式可得，解得：或，∴B（，），D（，），∵C为BD的中点，∴点C的纵坐标为 =，∵BD= =5，∴圆的半径为，∴点C到x轴的距离等于圆的半径，∴圆C与x轴相切；

（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM=，CH=﹣1=，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，∵HF= =，∴MF=HF﹣MH=，∵BE=﹣1=，∴= =．