Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；

（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；

（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；

（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出 ；

②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面积得出（2＜t≤4）；

（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF= HF=，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．

试题解析：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：

连接ME交NF于O，如图1所示：

∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，FN∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴ =2，∴NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四边形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=；

即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；

（2）分两种情况：

①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）；

②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）；

综上所述： ．

（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示：

则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2（4﹣t），解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，则EB= = =，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF= HF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF= = =．