Question

【题目】如图1，Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝BC，DB＝EB.显然可得结论AD＝EC，AD⊥EC.

(1)阅读：当Rt△DBE绕点B逆时针旋转到图2的位置时，连接AD，CE.求证：AD＝EC，AD⊥EC.

下面给出了小亮的证明过程，请你把小亮的证明过程填写完整：

∵∠ABC＝∠EBD，∴∠ABC－∠ABE＝∠EBD－∠ABE，即∠EBC＝∠DBA.在△EBC和△DBA中，

BC＝BA，∠______=∠______，BE＝BD，

∴△EBC≌△DBA，∴CE＝AD，∠ECB＝∠______.

∵∠ECB＋∠ACE＋∠CAB＝90°，∴∠DAB＋∠ACE＋∠CAB＝90°，∴∠______＝90°，∴AD⊥EC.

(2)类比：当Rt△DBE绕点B逆时针旋转90°得到图3时，连接AD，CE.问(1)中线段AD，EC间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展：当Rt△DBE绕点B逆时针旋转到图4时，连接AD，CE.请说明AD，EC间的数量关系和位置关系．

Answer 1

【答案】 （1）EBC DBA DAB AKC

（2）成立，理由见解析；（3）AD=EC，AD⊥EC.

【解析】（1）根据证明过程直接填空即可；

（2）先证△ADB与△CBE全等，得出CE=AD，和∠ECB=∠DAB，延长CE交AD于点F，由于∠DAB与∠ADB互余，从而∠ECB也与∠ADB互余，从而得征；

（3）方法与（2）相同；

（1）∵∠ABC=∠EBD，

∴∠ABC﹣∠ABE=∠EBD﹣∠ABE即∠EBC=∠DBA，

在△EBC和△DBA中，，

∴△EBC≌△DBA，∴AD=EC，∠ECB=∠DAB．

∵∠ECB+∠ACE+∠CAB=90°，

∴∠DAB+∠ACE+∠CAB=90°，

∴∠AKC=90°，∴AD⊥EC．

（2）成立．理由如下：

如图3，延长CE交AD于F．

在△EBC和△DBA中，，

∴△EBC≌△DBA，∴AD=EC，∠ECB=∠DAB．

∵∠DAB+∠ADB=90°，∴∠ECB+∠ADB=90°，∴AD⊥EC；

（3）AD＝EC，AD⊥EC．理由如下：

如图4，设CE、AD交于点F，

∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠CBE=∠ABD．

在△EBC和△DBA中，，

∴△EBC≌△DBA，∴AD=EC，∠CEB=∠ADB．

∵∠ADB+∠DFB=90°，∴∠CEB+∠AFE=90°，∴AD⊥EC．