Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，正三角形BCE所在平面与菱形ABCD所在的平面垂直，FD⊥平面ABCD，且 ．
（1）判断直线EF平面ABCD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线EF与平面ABCD平行，理由如下：

如图，过点E作EH⊥BC于点H，连接HD，因为在正三角形BCE中，BC=4，所以 ，

因为平面ABCD⊥平面BCE，EH平面ABCD，

故平面EF∥平面ABCD

（2）解：如图，连接AC，HA，由（1）可得H为BC的中点，

又∠CBA=60°，故△ABC为等边三角形，

所以HA⊥BC．

又EH⊥平面ABCD，故HB，HA，HE两两垂直，以H为坐标原点，

HB，HA，HE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则 ，

所以 ，

设平面BEF的法向量为 ，

则 ，即 ，

取z1=1，则 是平面BEF的一个法向量，

设平面ABF的法向量为 ，

则 ，即 ，

取y2=1，得 是平面ABF的一个法向量．

所以 ，

由图可知二面角A﹣FB﹣E为钝角，故二面角A﹣FB﹣E的余弦值是 ．

【解析】（1）过点E作EH⊥BC于点H，连接HD，推导出平面ABCD⊥平面BCE，从而平面EF∥平面ABCD．（2）连接AC，HA，推导出HA⊥BC，以H为坐标原点，HB，HA，HE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣FB﹣E的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系的相关知识点，需要掌握直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点才能正确解答此题．