Question

【题目】【题目】如图①，一次函数 y＝ x - 2 的图像交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，二次函数 y＝ x2 bx c的图像经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一点 C．

（1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；

（2）如图②，若点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，过点 P 作 PD∥x 轴交 AB 于点 D，PE∥y 轴交 AB 于点 E，求 PD＋PE 的最大值；

（3）如图③，若点 M 在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有满足条件的点 M的坐标．

① ② ③

Answer 1

【答案】(1) y＝ , C（1，0）;(2)6;(3) M的坐标为（， ）或（， ）.

【解析】试题分析：（1）先求出A、B的坐标，然后把A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，解方程组即可得到结论；

（2）先证明△PDE∽△OAB，得到PD＝2PE．设P（m， ），则E（m， ），PD＋PE＝3PE，然后配方即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．求出圆心O1的坐标和半径，利用MO1=半径即可得到结论．

②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．求出点O2的坐标，算出DM的长，即可得到结论．

试题解析：解：（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）．

令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．

∵二次函数y＝的图像经过A、B两点，∴，解得： ，

∴二次函数的关系式为y＝．

令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．

（2）∵PD∥x轴，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，∴PD＝2PE．设P（m， ），则E（m， ）．

∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．

∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD＋PE有最大值6．

（3）①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．

∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，－t）．

∴＝，解得：t＝2，∴圆心O1的坐标为（，－2），∴半径为．

设M（，y）．∵MO1=，∴，解得：y=，∴点M的坐标为（）．

②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．

∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB，∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为 （，0），∴O2D＝1，∴DM＝＝，∴点M的坐标为（， ）．

综上所述：点M的坐标为（， ）或（， ）．