Question

【题目】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．

（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，

∴∠AOC=90°+60°=150°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC= ∠AOC=75°，∠NOC= ∠BOC=30°

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°.

（2）解：如图2，∠MON= α，

理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，

∴∠AOC=α+60°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC= ∠AOC= α+30°，∠NOC= ∠BOC=30°

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（ α+30°）﹣30°= α.

（3）解：如图3，∠MON= α，与β的大小无关．

理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，

∴∠AOC=α+β．

∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，

∴∠MOC= ∠AOC= （α+β），

∠NOC= ∠BOC= β，

∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣ β=α+ β．

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC

= （α+β）﹣ β= α

即∠MON= α.

【解析】（1）由题意易求出∠AOC的度数，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，可求得∠MOC和∠CON的度数，再由∠MON=∠MOC﹣∠NOC可求出；
（2）（3）解法同（1）.