Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；

（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．