Question

【题目】如图1,为轴负半轴上一点,为轴正半轴上一点,点坐标为，点坐标为且．

（1）求两点的坐标；

（2）求；

（3）如图2,若点坐标为点坐标为,点为线段上一点，的延长线交线段于点,若，求出点坐标．

（4）如图3,若,点在轴正半轴上任意运动，的平分线交的延长线于点,在点的运动过程中，的值是否发生变化，若不变化,求出比值；若变化请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，-2），D（-3，-2）；（2）3；（3）Q（，）；（4）值不变，且为

【解析】

（1）根据中绝对值和算术平方根的非负性可求得a和b的值，从而得到C和D的坐标；

（2）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可；

（3）根据可得△ABQ的面积等于△BOC的面积，求出△OBC的面积，再根据AB的长度可求得点Q的纵坐标，然后求出直线AC的表达式，代入点Q纵坐标即可求出点Q的横坐标；

（4）在△AOE和△BFC中，利用三角形内角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解.

解：（1）∵，

∴a+2=0，b+3=0，

∴a=-2，b=-3，

∴C（0，-2），D（-3，-2）；

（2）∵C（0，-2），D（-3，-2），

∴CD=3，且CD∥x轴，

∴=×3×2=3；

（3）∵，△OBP为公共部分，

∴S△ABQ=S△BOC，

∵B（2，0），C（0，-2）

∴S△BOC==2= S△ABQ，

∵A（-3，0），

∴AB=5,

S△ABQ==2，

∴，

设直线AC的表达式为y=kx+b，

将A，C坐标代入，

，

解得：，

∴直线AC的表达式为：，

令y=，

解得x=，

∴点Q的坐标为（，）；

（4）在△ACE中，设∠ADC=∠DAC=α，∠ACE=β，

∠E=∠DAC-∠ACE=α-β，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACE=β，

在△AFE和△BFC中，

∠E+∠EAF+∠AFE=180°，

∠ABC+∠BCF+∠BFC=180°，

∵CD∥x轴，

∴∠EAF=∠ADC=α，

又∵∠AFE=∠BFC，

∴∠E+∠EAF=∠ABC+∠BCF，

即α-β+α=∠ABC+β，

∴∠ABC=2（α-β），

∴==，为定值.