Question

【题目】将一副三角板按如图摆放，其中△ABC为含有45度角的三角板，直线AD是等腰直角三角形ABC的对称轴，且将△ABC分成两个等腰直角三角形，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，有下列四个结论：①BD＝AD＝CD②△AED≌△CFD③BE+CF＝EF④S四边形AEDF＝AB2．其中正确结论是_____（填写正确序号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，故①正确，∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，判断出②正确，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，求出AE=CF，根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ADF=S△BDE，从而求出S四边形AEDF=S△ABD=AB2，判断出④正确．

∵∠B=45°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵点D为BC中点，

∴AD=CD=BD，故①正确；

AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴∠EAD=∠C，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），故②正确；

∴DE=DF、BE=AF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，

∵BE+CF=AF+AE

∴BE+CF＞EF，故③错误；

∵△BDE≌△ADF，

∴S△ADF=S△BDE，

∴S四边形AEDF=S△ACD=AD2=AB2．故④正确.

故答案为：①②④．