Question

【题目】已知二次函数y＝x2＋（k－1）x－2k－3．

（1）求证：该二次函数图像与x轴总有两个公共点；

（2）若点A（－1，y1）、B（1，y2）在该二次函数的图像上，且y1＞y2，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）k＜1．

【解析】分析：（1）根据△恒大于0即可证明；（2）将x=-1和x=1代入y＝x2＋（k－1）x－2k－3,再根据，可得结果.

本题解析：

（1）由题意得，令，得到方程

a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣2k﹣3，则b2﹣4ac＝（k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣3）＝k2＋6k＋13＝（k＋3）2＋4，．

∵，∴（k＋3）2＋4＞0，即，∴方程有两个不相等的实数根

∴二次函数图像与x轴有两个公共点． ．

（2）∵A（－1，y1）、B（1，y2）在该二次函数的图像上，∴y1＝1﹣（k﹣1）﹣2k﹣3＝﹣3k﹣1，y2＝1+k﹣1﹣2k﹣3＝﹣k﹣3，又∵y1＞y2，∴﹣3k﹣1＞﹣k﹣3，解得k＜1． ．

（另解：数形结合，根据图像可得： ，解得k＜1）