Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5（2）点P（， ）时，S四边形APCD最大=

【解析】（1）利用顶点式即可求出二次函数解析式；

（2）先求出直线AB的解析式，设出点P坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=×AC×PD＝2(-x2+5x)=-2x2＋10x，根据二次函数求出极值即可.

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），

∴4a+9=5，

∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，

（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，

∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=﹣1，n=5，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；

设P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，

∵AC=4，

∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x=﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0

∴当x=时，

∴即：点P（， ）时，S四边形APCD最大=．