Question

【题目】如图，已知直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P．动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动，同时动点F从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿着射线OA的方向运动，当点E到达终点A时点F随即停止运动，设运动时间为t秒，当动点E、F所在的直线将△OPA的面积分成1∶2的两部分时，t的值为_________________。

Answer 1

【答案】

【解析】解：在中，令y=0，得： ，解得：x=4，∴OA=4．解方程组，得： ，∴OP==4，tan∠POA=，∴∠POA=60°，∴△OPA是边长为4的等边三角形， ．分两种情况讨论：

①当E在OP上运动时，△OEF是边长为2t的等边三角形．∵△OEF∽△OPA，且面积比为1：3或2：3，∴ ，或，解得：t=或．

②当E在PA上运动时，PE=2t-4，EA=8-2t，F(2t，0)，E(t， )，直线EF为，∴G（， ），∴OG=2×（）=，∴PG== ．

∵= PGPE=或，解即： 或，解得：t=或．

综上所述：t=或或或．