Question

【题目】如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）点P是x轴上的一动点，当PA+PB最小时，求点P的坐标；

（3）观察图象，直接写出不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（，0）；（3）x＜0或1≤x≤4

【解析】

（1）将点A（1，4）代入可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；

（2）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，根据B的坐标求得B′的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB′的解析式，进而求得与x轴的交点P即可．

（3）根据图象得出不等式的解集即可。

解：（1）把A（1，4）代入，得：m=4，
∴反比例函数的解析式为；

把B（4，n）代入，得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，

得：

∴一次函数的解析式为y=-x+5；

（2）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），
∴B′（4，-1），
设直线AB′的解析式为y=px+q，

解得

∴直线AB′的解析式为

令y=0，得

解得

∴点P的坐标为（，0）

（3）根据图象得当x＜0或1≤x≤4时，一次函数y=-x+5的图象在反比例函数的上方。

∴不等式的解集为x＜0或1≤x≤4。