Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；

（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范围；

（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出点R落在△ABC高线上时t的值．

Answer 1

【答案】(1) 3t；(2) 0＜t＜1或t=；(3)s=-28t2+44t-16；(4)

【解析】

试题分析：（1）只需利用三角函数就可解决问题；

（2）可分点P在AC边上（图①）和点P在BC边上（图②）两种情况讨论：当点P在AC边上时，易得点R到AC、PQ所在直线的距离始终相等，从而可得0＜t＜1；当点P在BC边上时，易得PC=PQ，由此建立关于t的方程，就可解决问题；

（3）可分△PQR全部在△ABC内和△PQR部分在△ABC内两种情况讨论：当△PQR全部在△ABC内时，只需运用三角形的面积公式就可解决问题；当△PQR部分在△ABC内时，只需运用割补法就可解决问题；

（4）可分以下几种情况讨论：点R在AB的高CH上（如图④和图⑦）、点R在AC的高BC上（如图⑤）、点R在BC的高AC上（如图⑥），其中图④和图⑦可通过构造K型全等，并利用相似三角形的性质来解决问题，图5和图6可通过PQ=2PC来解决问题．

试题解析：（1）如图①，

由题意可知AP=4t，

tanA=，

∴PQ=3t；

（2）①当点P在AC边上时，如图①．

∵∠RPQ=45°，∠CPQ=90°，

∴∠CPR=45°=∠RPQ，

∴点R到直线AC、PQ距离相等，

此时0＜t＜1．

②当点P在BC边上时，过点R作RH⊥PQ于点H，如图②，

则有PC=4t-4，PB=7-4t，

∵tanB=，

∴PQ=PB=（7-4t）．

由题可得：RH=PC．

∵RH=PQ，

∴PC=PQ，

∴4t-4=（7-4t），

解得：t=．

综上所述：0＜t＜1或t=；

（3）①当0＜t≤时，如图①．

过点R作RH⊥PQ于点H，

S=PQRH=×3t×=t2．

②当＜t＜1时，如图③．

过点R作RH⊥PQ于点H，交BC于点G，

则有RG⊥MN，RH=PQ=t，GH=PC=4-4t，

∴S=S△RPQ-S△RMN=PQRH-MNRH

=RH2-RG2=（t）2-[t-（4-4t）]2

=-28t2+44t-16；

（4）点R落在△ABC高线上时，t的值为，，，.

可分以下几种情况讨论：如图④～⑦

①点P在AC上，且点R在AB的高CH上，如图④，

过点P作PG⊥CH于G，

易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．

易求得AB=5，CH=，AH=，BH=．

PC=4-4t，CG=PC=（4-4t），PG=PC=（4-4t），

AQ=AP=5t，QH=AH-AQ=-5t．

根据CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=，得

（4-4t）+-5t+（4-4t）=，

解得：t=．

②点P在AC上，且点R在AC的高BC上，如图⑤

过点R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ=AP=3t，PC=4-4t，

∴3t=2（4-4t），

解得：t=．

③点P在BC上，且点R在BC的高AC上，如图⑥，

过点R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ=PB=（7-4t），PC=4t-4，

∴（7-4t）=2（4t-4），

解得：t=．

④点P在BC上，且点R在AB的高CH上，如图⑦，

过点P作PG⊥CH于G，

易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．

易证△CGP∽△CHB，

∴．

∵BC=3，CH=，BH=，CP=4t-4，

∴CG=PC=（4t-4），PG=PC=（4t-4），

同理可得QB=PB=（7-4t），QH=QB-BH=（7-4t）-．

根据CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH=，得

（4t-4）+（4t-4）-[（7-4t）-]=，

解得：t=．