Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= （x﹣m）2﹣ m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：当m=2时，y= （x﹣2）2+1，

把x=0代入y= （x﹣2）2+1，得：y=2，

∴点B的坐标为（0，2）

（2）

解：延长EA，交y轴于点F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF=AE，

∵点A（m，﹣ m2+m），点B（0，m），

∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣ m2+m）= m2，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，

∴ ，即： = ，

∴DE=4．

（3）

解：①∵点A的坐标为（m，﹣ m2+m），

∴点D的坐标为（2m，﹣ m2+m+4），

∴x=2m，y=﹣ m2+m+4，

∴y=﹣ + +4，

∴所求函数的解析式为：y=﹣ x2+ x+4，

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（i）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），

点P的横坐标为3m，

点P的纵坐标为：（﹣ m2+m+4）﹣（ m2）=﹣ m2+m+4，

把P（3m，﹣ m2+m+4）的坐标代入y=﹣ x2+ x+4得：

﹣ m2+m+4=﹣ ×（3m）2+ ×（3m）+4，

解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．

（ii）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），

点P的横坐标为m，

点P的纵坐标为：（﹣ m2+m+4）+（ m2）=m+4，

把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣ x2+ x+4得：

m+4=﹣ m2+ m+4，

解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，

综上所述：m的值为8或﹣8．

【解析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣ m2+m+4，将m= 代入y=﹣ m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．