Question

【题目】如图（1），直线交x轴于点A，交轴于点C（0，4），抛物线过点A，交y轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）如图（2），将△BDP绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）或.（3）满足条件的点P的坐标为（， ）、（， ）或（、）.

【解析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．

解：（1）∵点C（0，4）在直线y=﹣x+n上，

∴n=4，∴y=﹣x+4，

令y=0，∴x=3，∴A（3，0），

∵抛物线y= x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．

∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，

∴b=﹣，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，

（2）点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m．

∴P（m， m2﹣m﹣2），

∴BD=|m|，PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|，

∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，

∴BD=PD，

∴|m|=|m2﹣m|，

∴m=0（舍），m=，m=，

∴PD=或PD=；

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，

∴AC=5，

∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，

①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，

∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，

如图1，

ND'﹣MD'=2，

∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，

∴m=（舍），或m=﹣，

如图2，

ND'+MD'=2，

∴（m2﹣m）+m=2，

∴m=，或m=﹣（舍），

∴P（﹣， ）或P（， ），

②当点P'落在y轴上时，如图3，

过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过P′作P′N⊥y轴，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，

∵P′N=BM，

∴（m2﹣m）=m，

∴m=，

∴P（， ）．

∴P（﹣， ）或P（， ）或P（， ）．

“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．