Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣ ）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），

又∵函数的顶点坐标为（3，﹣ ），

∴ ，

解得： ，

故函数解析式为：y= x2﹣ x，

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）

（2）

解：∵S△POA=2S△AOB，

∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2 ，

代入函数解析式得：2 = x2﹣ x，

解得：x1=3+3 ，x2=3﹣3 ，

即满足条件的点P有两个，其坐标为：P1（3+3 ，2 ），P2（3﹣3 ，2 ）

（3）

解：存在．

① 当点Q与点B重合时，满足△AQO与△AOB相似，

此时点Q的坐标为（3，﹣ ）；

②当点Q与点B不重合时，

过点B作BP⊥OA，则tan∠BOP= = ，

故可得∠BOA=30°，

设Q1坐标为（x， x2﹣ x），过点Q1作Q1F⊥x轴，

∵△OAB∽△OQ1A，

∴∠Q1OA=30°，

故可得OF= Q1F，即x= （ x2﹣ x），

解得：x=9或x=0（舍去），

经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．

即可得Q1坐标为（9，3 ），

根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3 ）．

∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（3，﹣ ）或（9，3 ）或（﹣3，3 ）

【解析】（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣ ）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2 ，代入函数解析式可得出点P的横坐标；（3）分情况讨论，①点Q与点B重合可直接得出点Q的坐标；②点Q不与点B重合，先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．