Question

【题目】如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．

（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；

（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；

（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，四边形的面积的最小值为.

【解析】

（1）当∠BEF=45°时，易知四边形EBFH是正方形，求出EM，EH的长即可解决问题．

（2）如图2中，连接DE．利用勾股定理求出DE，DH，设BF=FH=x，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可解决问题．

（3）如图3中，连接AC，作EM⊥AC于M．利用相似三角形的性质求出EM，由S四边形AHCD=S△ACH+S△ADC，S△ACD=×6×8=24，推出当△ACH的面积最小时，四边形AHCD的面积最小，可知当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，由此即可解决问题．

（1）如图1中，

当时，易知四边形是正方形，

∵，，

，，

，

四边形是矩形，

，

，

.

（2）如图2中，连接.

在中，，，

，

在中，

设，则，，

在中，，

，

，

.

（3）如图3中，连接，作于.

，，

，

，

，

，

，，

当的面积最小时，四边形的面积最小，

当与重合时，点到直线的距离最小，最小值，

的面积的最小值，

四边形的面积的最小值为.