Question

【题目】四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．
①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；

（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①补全图形如图1所示，

②结论：AP=BN，AP⊥BN．

理由：延长NB交AP于H，交OP于K．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，AO⊥BO，

∴∠1+∠2=90°，

∵四边形OPMN是正方形，

∴OP=ON，∠PON=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

在△APO和△BNO中，

，

∴△APO≌△BNO，

∴AP=BN，∴∠4=∠5，

在△OKN中，∠5+∠6=90°，

∵∠7=∠6，

∴∠4+∠7=90°，

∴∠PHK=90°，

∴AP⊥BN．

（2）

解：解题思路如下：

a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．

b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1，

c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．

d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，

可证，△OTP≌△NSM，

∴PT=MS= ，

∴CN=BN﹣BC= ﹣1，

∴SC=SN﹣CN=2﹣ ，

在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2，

∴MC的长可求．

【解析】（1）①根据题意作出图形即可．②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可．（2）在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)．