Question

【题目】已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1 ， x2（用含m的代数式表示）；
①求方程的两个实数根x1 ， x2（用含m的代数式表示）；
②若mx1＜8﹣4x2 ， 直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，

∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，

∵m＞3，

∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根

（2）①由求根公式得x= ，

∴x=1，或x= ，

∵m＞3，

∴ ＞3，

当x1＜x2，

∴x1=1，x2=2﹣ ；

当x1＞x2，

这种情况不存在；

∴x1=1，x2=2﹣ ；

②∵mx1＜8﹣4x2，

∴m＜8﹣4（2﹣ ），

解得：3＜m＜2 ．

【解析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m﹣3）2 ， 然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8﹣4x2 ， 即可得到 结果．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用求根公式和根与系数的关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．