Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上一点，E是BC延长线上一点，连接DE.

（1）如图1，若点D是AC中点，且DB=DE. 求证：AD=CE.

（2）如图2，若点D是AC边上任意一点，且DB=DE，则（1）中结论是否成立，如成立，请证明；如不成立，请说明理由.

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）结论成立，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：∵△ABC是等边三角形

∠ABC=∠ACB=60°

∵△ABC是等边三角形，点D为AC中点

∴BD平分∠ABC，AD =CD

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°

∵DB=DE

∴∠E=∠DBC=30°

又∵∠ACB是△DCE的外角

∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°

∴∠CDE=∠E

∴CD=CE

∴CE=AD

(2) 过点D作DF∥BC交AB于F

∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC

∵DF∥BC

∴∠AFD=∠ABC=60°,∠ADF=∠ACB=60°

即∠A=∠AFD=∠ADF

∴△AFD是等边三角形

∴AF=FD=AD

∴AB-AF=AC-AD

即BF=CD

∵DB=DE

∴∠E=∠DBC

∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠E

即∠ABD=∠CDE

∴△FBD≌△CDE

∴CE=DF

∴CE=AD