Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.求证：AE＝(AB＋AD)．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：过C作CM⊥AD于M，于是得到△MAC≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AM=AE，证Rt△DMC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得到BE=DM，求出AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，即可得出答案．．

试题解析：证明：过C作CM⊥AD于M，

∵CE⊥AB，

∴∠M=∠CEB=90°，

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠MDC=180°，

∴∠B=∠MDC，

∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，

∴CM=CE，∠MAC=∠EAC，

在△MAC和△EAC中，

，

∴△MAC≌△EAC(AAS)，

∴AM=AE，

∵∠M=∠BEC=90°，

∴在Rt△DMC和Rt△BEC中，，

∴Rt△DMC≌Rt△BEC(HL)，

∴BE=DM，

∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，

即AE=(AB+AD).