Question

【题目】把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，APCQ= ；

（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问APCQ的值是否改变？说明你的理由；

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Answer 1

【答案】（1）8．（2）APCQ的值不会改变．（3）当2＜x＜4时，y=8﹣x﹣．当0＜x≤2时，y=4﹣x﹣（或y=）．

【解析】

试题分析：（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．

（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°﹣α，∠CDQ=90°﹣α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．

（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜45°时②当45°≤α＜90°时．

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，

∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．

∴即AP×CQ=AD×CD，

∵AB=BC=4，

∴斜边中点为O，

∴AP=PD=2，

∴AP×CQ=2×4=8；

故答案为：8．

（2）APCQ的值不会改变．

理由如下：

∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，

∠APD=180°﹣45°﹣（45°+α）=90°﹣α，

∠CDQ=90°﹣α，

∴∠APD=∠CDQ．

∴△APD∽△CDQ．

∴．

∴APCQ=ADCD=AD2=（AC）2=8．

（3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，

此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，

∴DG=DN=2

由（2）知：APCQ=8得AP=

于是y=ABBC﹣CQDN﹣APDG

=8﹣x﹣（2＜x＜4）

情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，

由于AP=，PB=﹣4，易证：△PBM∽△DNM，

∴即解得．

∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣．

于是y=MQDN=4﹣x﹣（0＜x≤2）．

综上所述，当2＜x＜4时，y=8﹣x﹣．

当0＜x≤2时，y=4﹣x﹣（或y=）．