Question

【题目】如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC．

∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，

∴∠A=∠B=∠1=∠2．

∵∠ACO=∠DCO+∠2，

∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，

又∵BD是直径，

∴∠BCD=90°，

∴∠ACO=90°，

又C在⊙O上，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：由题意可得△DCO是等腰三角形，

∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，

∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．

∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，

在直角△BCD中，BC= = =2 ．

又AC=BC，

∴AC=2 ．

作CE⊥AB于点E．

在直角△BEC中，∠B=30°，

∴CE= BC= ，

∴S△ABC= ABCE= ×6× =3 ．

【解析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及直径所对的圆周角是直角，利用等量代换证得∠ACO=90°，据此即可证得；（2）易证∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AC的长，作CE⊥AB于点E，求得CE的长，利用三角形面积公式求解．本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．