Question

【题目】将的边绕点顺时针旋转得到，边绕点逆时针旋转得到，，连接，作的中线．

图① 图② 图③

（初步感知）

(1)如图①，当，时，的长为　 　；

（探究运用）

(2)如图②，为任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明．

（应用延伸）

(3)如图③，已知等腰，，延长到，延长到，使，将绕点顺时针旋转一周得到，连接、，若，求的长度(用含、的代数式表示)．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)，证明见解析；(3).

【解析】

（1）只要证明BC=B′C′=4，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；

（2）如图①中，延长AD到E，使得DE=AD．连接EB′，EC′．只要证明△AB′E≌△BAC，即可解决问题；

（3）分两种情形，利用（2）中结论以及勾股定理计算即可；

(1)，

，

，

，

，，

，

，

是直角三角形斜边的中线，

．

故答案为．

(2)证明：如图中，延长到，使得．连接，．

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．

(3)①如图中，作的中线．

在中，，

，

在中，，

由(2)可知：．

②如图中，作的中线，延长到，使得．

同法可证：，

，

由①可知，，

．