Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC边上相遇？

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中， ，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间 ，
∴ cm/s
（2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴点P共运动了 ×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇
【解析】（1）①根据时间和速度分别求得BP、BD、PC、QC的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形对应边相等可得到BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长.