Question

【题目】如图，直线l与⊙O相离，过点O作OA⊥l，垂足为A，OA交⊙O于点B，点C在直线l上，连接CB并延长交⊙O于点D，在直线l上另取一点P，使∠PCD=∠PDC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AC=1，AB=2，PD=6，求⊙O的半径r和△PCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，

∴∠ABC=∠OBD=∠ODB，

∵OA⊥l，

∴∠PCD+∠ABC=90°，

∴∠PCD+∠ODB=90°，

∵∠PCD=∠PDC，

∴∠PDC+∠ODB=90°，即∠ODP=90°，

∴PD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠PCD=∠PDC，

∴PC=PD=6，

∴PA=5，

设OB=OF=OD=r，

由PA2+AO2=PD2+OD2可得52+（2+r）2=62+r2，

解得：r= ，

延长AO交⊙O于点F，连接DF，

∵∠ABC=∠DBF、∠BAC=∠BDF=90°，

∴△ABC∽△DBF，

∴ = ，即 = ，

∴DB= ，

过点D作DE⊥PC于点E，

∴△CAB∽△CED，

∴ = ，即 = ，

解得：DE= ，

∴S△PCD= PCDE= ×6× = ．

【解析】（1）连接OD，知∠ABC=∠OBD=∠ODB，由∠PCD+∠ABC=90°知∠PCD+∠ODB=90°，结合∠PCD=∠PDC可得∠ODP=90°，即可得证；（2）由∠PCD=∠PDC知PC=PD=6、PA=5，根据PA2+AO2=PD2+OD2可得r= ；延长AO交⊙O于点F，连接DF，证△ABC∽△DBF得 = ，即可知DB= ，作DE⊥PC于点E，由△CAB∽△CED知 = ，求得DE= ，从而求得△PCD的面积．
【考点精析】利用切线的判定定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．