Question

【题目】如图，已知中， ， ， ，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作交BC边于点F，联结EF．

（1）如图1，当时，求EF的长；

（2）如图2，当点E在AC边上移动时， 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出的正切值；

（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当是等腰三角形时，请直接写出BF的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不变；（3）或3或.

【解析】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；

（2）过点作， ，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；

（3）分三种情况讨论即可.

（1）∵，

∴

∵

∴

∵是边的中点

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵在中，

∴

∵

∴

又∵

∴四边形是矩形

∴

∵在中，

∴

（2）不变

过点作， ，垂足分别为点、

由（1）可得，

∵，

∴

又∵，

∴四边形是矩形

∴

∵

∴ 即

又∵

∴

∴

∵

∴

（3）1° 当时，易证，即

又∵，D是AB的中点

∴

∴

2° 当时，易证

∵在中，

∴设，则，

当时，易证，

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴ 解得

∴

∴

3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出

当时，易证

∴设，则，

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴ 解得

∴

∴