Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线BC与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线AD与x轴，y轴分别交于A、D两点，其中A（﹣3，0）、B（4，0），C（0，4）并且AD⊥BC于点E

（1）求点D的坐标；

（2）点P从点A出发沿x轴正方向匀速运动，运动速度为每秒2个单位的长度，过点P作PM⊥x轴分别交直线AD、BC于点M、N，设点P的运动时间为t（秒），MN=m（m＞0），请用含t的式子表示m，并说明理由（并直接写出t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，EK⊥x轴于点K，连接MK，作KQ⊥MK交直线BC于点Q，当S△KQB=时，求此时的P值及点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）（2）答案见解析（3）p=﹣2， M（﹣2，1），

【解析】

试题分析：（1）设直线BC解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线BC解析式，由直线AE与直线BC垂直，以及A的坐标确定出直线AE解析式，即可求出D的坐标；

（2）联立直线AE与直线BC解析式，求出E坐标，确定出AK的长，分三种情况考虑：当0＜t≤时；当＜t≤时；当＜t≤时，分别用t表示出m即可；

（3）如图2和图3所示，根据三角形BKQ的面积及KB的长，求出Q的纵坐标，进而求出横坐标，确定出Q坐标，分别设出P坐标，表示出M坐标，由MK与KQ垂直求出M坐标，进而求出P的坐标以及此时t的值即可．

解：（1）设直线BC解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（0，4）代入得：，

解得：，

故直线BC解析式为y=﹣x+4，

由直线AE⊥直线BC，得到直线AE解析式为y=x+a，

把A（﹣3，0）代入得：0=﹣3+a，即a=3，

故直线AE解析式为y=x+3，

令x=0，得到y=3，即D（0，3）；

（2）过C作CK⊥x轴，如图2所示，

联立得：，

解得：，即E（，），

∴AK=OA+OK=3，

分三种情况考虑：

当0＜t≤时，由题意得：P（2t﹣3，0）

把x=2t﹣3代入直线AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t﹣3代入直线BC解析式得：PN=y=7﹣2t，

此时m=MN=PN﹣PM=7﹣2t﹣2t=7﹣4t；

当＜t≤时，由题意得：OP=AP﹣AO=2t﹣3，

把x=2t﹣3代入直线AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t﹣3代入直线BC解析式得：PN=7﹣2t，

此时m=MN=PN﹣PM=7﹣2t﹣2t=7﹣4t；

当＜t≤时，由题意得：OP=AP﹣AO=2t﹣3，

把x=2t﹣3代入直线AE解析式得：PM=y=2t，把x=2t﹣3代入直线BC解析式得：PN=7﹣2t，

此时m=MN=PM﹣PN=2t﹣7+2t=4t﹣7；

（3）由（2）得：OK=，KB=OB﹣OK=4﹣=，

∵S△KQB=×KB×|yQ纵坐标|=××|yQ纵坐标|=，

∴|yQ纵坐标|=，

当yQ纵坐标=时，如图2所示，把y=代入直线BC解析式得：x=，即此时Q（，）；

设此时P（p，0），把x=p代入直线AE解析式得：PM=y=p+3，即M（p，p+3），

∵MK⊥KQ，K（，0），

∴kMK×kKQ=﹣1，即×=﹣1，

解得：p=﹣2，此时P（﹣2，0），M（﹣2，1），t=0.5；

当yQ纵坐标=﹣时，如图3所示，把y=﹣代入直线BC解析式得：x=，即此时Q（，﹣）；

设此时P（m，0），把x=m代入直线AE解析式得：PM=y=m+3，即M（m，m+3），

∵MK⊥KQ，K（，0），

∴kMK×kKQ=﹣1，即×=﹣1，

解得：m=3．

此时P（3，0），M（3，6），t=3．