Question

【题目】如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）

① ②EF=CF

③ ④

A. ①②③ B. ①② C. ②③ ④ D. ①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．

详解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；

延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， ∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF， ∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC，故③错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x， ∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x， ∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确， 故答案为：①②④，故选D．