Question

【题目】如图所示，在平面内，给定不在同一直线上的点，，，射线是的平分线，点到点，，的距离均等于（为常数），到点的距离等于的所有点组成图形，图形交射线于点，连接，．

（1）求证：；

（2）过点作直线的垂线，垂足为，作于点，延长交图形于点，连接．若，求直线与图形的公共点个数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1个.

【解析】

（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD可得到弧AD等于弧CD，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；

（2）如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．

（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，

∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD；

（2）如图，

∵AD=CM，AD=CD，

∴CD=CM，

∵DM⊥BC，

∴BC垂直平分DM，

∴BC为直径，

∴∠BAC=90°，

∵，

∴OD⊥AC，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线，

∴直线DE与图形G的公共点个数为1．