Question

【题目】如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.

(1)求证：AD＝AF；

(2)求证：BD＝EF；

(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)证明见解析；（3）四边形ABNE是正方形．理由见解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，证出BF=CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；
（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；
（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．

(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠ABF＝135°.

∵∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝135°.

∴∠ABF＝∠ACD.

∵CB＝CD，CB＝BF，

∴BF＝CD.

在△ABF和△ACD中，

∴△ABF≌△ACD，

∴AD＝AF；

(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB＝∠DAC.

∵∠BAC＝90°，

∴∠EAB＝∠BAC＝90°，

∴∠EAF＝∠BAD.

∵AB＝AC，AC＝AE，

∴AB＝AE.

在△AEF和△ABD中，

∴△AEF≌△ABD.

∴BD＝EF.

(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：

∵CD＝CB，∠BCD＝90°，

∴∠CBD＝45°.

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝90°.

∴∠ABN＝90°.

由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，

∴∠AEF＝∠ABD＝90°.

∴四边形ABNE是矩形．

又∵AE＝AB，

∴矩形ABNE是正方形．