Question

【题目】如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3

（2）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），

设M（2，t），且C（0，3），

∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，

①当MC=MP时，则有 =|t+1|，解得t= ，此时M（2， ）；

②当MC=PC时，则有 =2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2， ）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）

（3）

解：如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EFOD+ EFBD= EFOB= ×3（﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（ ，﹣ ），

即当E点坐标为（ ，﹣ ）时，△CBE的面积最大

【解析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．