Question

【题目】在中， 为中点， 、与射线分别相交于点、（射线不经过点）.

（1）如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；

（2）如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND. 求证：AM=AN

（3）如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND. 求证：∠EMD=∠FND.

图① 图②

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据AAS求得△BDE≌△CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．

（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；

（3）在（2）的条件下根据SSS即可证明△MED≌△NDF，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD=∠FND．

试题解析：

(1)如图①，

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∵BE∥CF，

∴∠DBE=∠DCH，

在△BDE与△CDH中，

，

∴△BDE≌△CDH(AAS)，

∴ED=HD，

∴四边形BECH是平行四边形；

(2)如图②连接FD、ED，延长ED交CF于点H，

∵BE⊥AE，CF⊥AE，

∴BE∥CF，

由(1)可知△BDE≌△CDH，

∴DE=DH，

∴在Rt△EHF中，FD=DE=DH.

∵M为AB的中点，

∴在Rt△AEB中，ME=BM=AM，

同理，在Rt△ACF中，FN=AN=CN.

∵M、N、D分别为AB、AC、BC的中点，

∴

(3)由上可知ME=DN，MD=NF，

在△MED与△NDF中，

，

∴△MED≌△NDF(SSS)，

∴∠EMD=∠FND.