Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）求证：AE＝EF．

（2）（探究1）变特殊为一般：若题中“点E是边BC的中点”变为“点E是BC边上任意一点”，则上述结论是否仍然成立？（填“是”或“否”）．

（3）（探究2）在探究1的前提下，若题中结论“AE＝EF”与条件“CF是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是；（3）仍然成立，见解析

【解析】

（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（3）过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，得到∠BAE＝∠HEF，再证明△ABE≌△EHF可得出BE=CH，FH=CH，从而得到∠HFC＝∠DCF＝45°，即可得出结论.

解：（1）证明：取AB的中点M，连接ME，如图1，

∴AM＝BM＝AB.

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC＝BC.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC.

∴AM＝EC，BM＝BE.

∴∠BME＝45°.

∴∠AME＝135°.

又∵CF是正方形外角的平分线，

∴∠ECF＝135°.

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB＋∠FEC＝90°.

又∵∠AEB＋∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC.

∴△AME≌△ECF(ASA)．

∴AE＝EF.

（2）【探究1】变特殊为一般：若题中“点E是边BC的中点”变为“点E是BC边上任意一点”，则上述结论仍然成立．

理由是：如图2，在AB上截取BM=BE，连接ME，

∵∠B=90°，

∴∠BME=∠BEM=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

∵AB=BC，BM=BE，

∴AM=EC，

在△AME和△ECF中

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

（3）【探究2】在探究1的前提下，若题中结论“AE＝EF”与条件“CF是正方形外角的平分线”互换，则命题仍然成立．

证明：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图3，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB＋∠FEH＝90°.

∵∠ABE＝90°，

∴∠AEB＋∠BAE＝90°.

∴∠BAE＝∠HEF.

在△ABE和△EHF中，

∴△ABE≌△EHF(AAS)．

∴BE＝HF，AB＝EH＝BC.

∴BC－EC＝EH－EC，即BE＝CH.

∴HF＝CH.

∴∠HCF＝∠HFC＝45°，∠DCF＝45°.

∴CF是正方形外角的平分线．